ધારો કે P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણી પાસે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ છે.નોંધો કે $P(x) = 0$ માટે $x = \omega^k$ જ્યાં $\omega = e^{i \frac{2\p

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપણી પાસે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 = \frac{1 - x^6}{1 - x}$ છે.નોંધો કે $P(x) = 0$ માટે $x = \omega^k$ જ્યાં $\omega = e^{i \frac{2\pi}{6}}$ અને $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.જ્યારે $P(x^{12})$ ને $P(x)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે આપણે શેષ $R(x)$ શોધવા માંગીએ છીએ.$P(x^{12}) = 1 + (x^{12}) + (x^{12})^2 + (x^{12})^3 + (x^{12})^4 + (x^{12})^5$.$P(x)$ ના કોઈપણ બીજ $\alpha$ માટે,આપણી પાસે $\alpha^6 = 1$ છે.તેથી,$\alpha^{12} = (\alpha^6)^2 = 1^2 = 1$.$P(x^{12})$ માં $x = \alpha$ મૂકતા,આપણને $P(\alpha^{12}) = 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + 1^4 + 1^5 = 6$ મળે છે.કારણ કે $P(x^{12}) = P(x)Q(x) + R(x)$,અને $P(\alpha) = 0$,તેથી $R(\alpha) = P(\alpha^{12}) = 6$ એ $P(x)$ ના તમામ $5$ બીજ માટે સાચું છે.કારણ કે $R(x)$ એ મહત્તમ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે અને તે $5$ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર $6$ કિંમત ધારણ કરે છે,તેથી $R(x)$ એ અચળ બહુપદી $6$ હોવી જોઈએ.

ધારો કે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$. જ્યારે $P(x^{12})$ ને $P(x)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શું મળે?

Similar Questions

જો $r = 0, 1, 2, \dots, 2016$ માટે $T_r = ^{2016}C_r x^{2016-r}$ હોય,તો $(T_0 - T_2 + T_4 - \dots + T_{2016})^2 + (T_1 - T_3 + T_5 - \dots - T_{2015})^2$ ની કિંમત શું થાય?

$[(1 + x)^{100} + (1 + x^2)^{100} + (1 + x^3)^{100}]$ ના વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા -

ધારો કે $a > b > 0$ અને $f(n) = a^{1/n} - b^{1/n}$, $J(n) = (a - b)^{1/n}$ તમામ $n \geq 2$ માટે. તો:

$(1 + t^2)^{12}(1 + t^{12})(1 + t^{24})$ ના વિસ્તરણમાં $t^{24}$ નો સહગુણક શોધો.

$(1+x)^{100}+2x(1+x)^{99}+3x^2(1+x)^{98}+\dots+101x^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module