मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$

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$4$ से अधिक अवयव हैं

Vedclass · Answer

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$. चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $|\frac{1}{1+x^2}| अतः,$f(x) = |x|^\alpha \cdot \frac{1+x^2}{x^2} = |x|^\alpha \cdot |x|^{-2} (1+x^2) = |x|^{\alpha-2} (1+x^2)$। $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए। $\lim_{x 	o 0} |x|^{\alpha-2} (1+x^2) = 0$ तभी संभव है जब $\alpha - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha > 2$। ऐसी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय अंतराल $(2, \infty)$ है। चूंकि इस अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए समुच्चय में $4$ से अधिक अवयव हैं।

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मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{यदि } x < -1 \\ bx^2 + ax + 4 & \text{यदि } x \geq -1 \end{cases}$ का अवकलज सर्वत्र सतत है, तो:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^p \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। तब $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है यदि:

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2 + \cos x} - 1}{(\pi - x)^2}, & x \neq \pi \\ k, & x = \pi \end{cases}$ बिंदु $x = \pi$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + 2x - 15}, & x \neq -5 \\ a, & x = -5 \end{cases}$ बिंदु $x = -5$ पर सतत है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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