मान लीजिए $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$ है। तो $x = -1$ पर $y'(x) - y''(x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि $f:R \to R$ और $f(x)$ घात $10$ का एक बहुपद फलन है,जिसके $f(x)=0$ के सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं,तो समीकरण $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$ के:

माना $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=\begin{cases} \frac{a-b \cos 2 x}{x^2} & ; x<0 \\ x^2+c x+2 & ; 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x+1 & ; x>1 \end{cases}$। यदि $f$ पूरे $R$ में सतत है और $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय $\text{नहीं}$ है,तो $m+a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

मान लीजिए $f$,$\mathbb{R}$ पर एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 1$ और $f'(2) = 4$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ है,तो वक्र $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$,$x$-अक्ष को कितनी बार काटता है?