मान लीजिए $f$,$\mathbb{R}$ पर एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 1$ और $f'(2) = 4$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ है,तो वक्र $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$,$x$-अक्ष को कितनी बार काटता है?

$x > 0$ के लिए फलनों $f_{1}(x) = x$ और $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ पर विचार करें। इन फलनों के आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं?

मान लीजिए $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ और $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ है। यदि $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ है,तो $f(\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $D$ एक दो बार अवकलनीय फलन $f$ का प्रांत है। सभी $x \in D$ के लिए,$f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0$ और $f(x)=\int g(x) \, dx + \text{अचर}$ है। यदि $h(x)={f(x)}^2+{g(x)}^2$ और $h(0)=5$ है,तो $h(2015)-h(2014)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है $f(x)=\begin{cases} \frac{a-b \cos 2 x}{x^2} & ; x<0 \\ x^2+c x+2 & ; 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x+1 & ; x>1 \end{cases}$। यदि $f$ पूरे $R$ में सतत है और $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय $\text{नहीं}$ है,तो $m+a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

समीकरण $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है: