मान लीजिए f(theta)=3left(sin ^4left(frac{3 pi | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(	heta)=3\left(\cos ^4 	heta+\sin ^4 	hetaight)-2 \cos ^2 2 	heta$. $\sin ^4 	heta+\cos ^4 	heta = 1-2 \sin ^2 	heta \cos ^

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$\frac{5}{4}$

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(B) दिया गया है $f(	heta)=3\left(\cos ^4 	heta+\sin ^4 	hetaight)-2 \cos ^2 2 	heta$. $\sin ^4 	heta+\cos ^4 	heta = 1-2 \sin ^2 	heta \cos ^2 	heta = 1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 	heta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(	heta)=3\left(1-\frac{1}{2} \sin ^2 2 	hetaight)-2 \cos ^2 2 	heta = 3-\frac{3}{2} \sin ^2 2 	heta-2 \cos ^2 2 	heta$. चूंकि $\sin ^2 2 	heta = 1-\cos ^2 2 	heta$,हमारे पास है: $f(	heta)=3-\frac{3}{2}(1-\cos ^2 2 	heta)-2 \cos ^2 2 	heta = \frac{3}{2}-\frac{1}{2} \cos ^2 2 	heta$. $\cos ^2 2 	heta = \frac{1+\cos 4 	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $f(	heta)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos 4 	heta}{2}ight) = \frac{5}{4}-\frac{\cos 4 	heta}{4}$. अब,$f^{\prime}(	heta) = \frac{d}{d 	heta} \left(\frac{5}{4}-\frac{\cos 4 	heta}{4}ight) = \sin 4 	heta$. दिया गया है $f^{\prime}(	heta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin 4 	heta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $	heta \in [0, \pi]$ के लिए,$4 	heta \in [0, 4 \pi]$. $\sin 4 	heta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के हल $4 	heta = \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}$ हैं। अतः,$	heta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{12}ight\}$. $S$ में $	heta$ का योग $4 \beta = \frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{6}+\frac{11 \pi}{12} = \frac{4 \pi+5 \pi+10 \pi+11 \pi}{12} = \frac{30 \pi}{12} = \frac{5 \pi}{2}$. इसलिए $\beta = \frac{5 \pi}{8}$. $f(\beta) = \frac{5}{4}-\frac{\cos(4 \cdot \frac{5 \pi}{8})}{4} = \frac{5}{4}-\frac{\cos(5 \pi / 2)}{4} = \frac{5}{4}-0 = \frac{5}{4}$.

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$x$-अक्ष के समानांतर रेखा जो वक्र $y = \sqrt{x}$ को $\frac{\pi}{4}$ के कोण पर काटती है,वह है:

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फलन $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ के लिए

एक फलन $f(x) = \begin{cases} 1 + x, & x \le 2 \\ 5 - x, & x > 2 \end{cases}$ है

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