ધારો કે $k$ અને $m$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી વિધેય $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + k\sqrt{x+1}, & 0 < x < 1 \\ mx^2 + k^2, & x \geq 1 \end{cases}$ એ તમામ $x > 0$ માટે વિકલનીય છે. તો $\frac{8f'(8)}{f'(\frac{1}{8})}$ ની કિંમત $.............$ છે.

List-$I$ માં આપેલી વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$a$. જો $y=|x|+|x-2|$ હોય, તો $x=2$ આગળ $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. જો $f(x)=|\cos 2x|$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. જો $f(x)=\sin(\pi[x])$ હોય, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે, તો $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. જો $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ હોય, તો $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી

બે વિધેયો $f$ અને $g$ માટે $x = 0$ આગળ પ્રથમ અને દ્વિતીય વિકલિતો અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને નીચેના સંબંધોનું પાલન કરે છે: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. તો:

બિંદુ $x=1$ આગળ,વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^3-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$ એ

ધારો કે $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,તમામ $x > 0$ માટે. તો
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

જો $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ અને $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$ હોય,તો $f(4)-g(4)$ ની કિંમત $...........$ થાય.