मान लीजिए कि x=x(t) और y=y(t) अवकल समीकरणों f | vedclass

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Question

(D) दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dx}{dt} = -ax$ और $\frac{dy}{dt} = -by$ हैं।$\frac{dx}{dt} = -ax$ को चरों को अलग करके हल करने पर,$\int \frac{dx}{x} = -\

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$\log_{\frac{4}{3}} 2$

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(D) दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dx}{dt} = -ax$ और $\frac{dy}{dt} = -by$ हैं।$\frac{dx}{dt} = -ax$ को चरों को अलग करके हल करने पर,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ प्राप्त होता है,जिससे $\ln|x| = -at + C_1$ मिलता है।$x(0)=2$ का उपयोग करने पर,$\ln 2 = C_1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x(t) = 2e^{-at}$ है।इसी प्रकार,$y(0)=1$ के साथ $\frac{dy}{dt} = -by$ को हल करने पर,$y(t) = e^{-bt}$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $3y(1) = 2x(1)$,इसलिए:$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$।हमें $t$ का मान ज्ञात करना है ताकि $x(t) = y(t)$ हो:$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln 2 = (a-b)t$।चूंकि $e^{a-b} = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $a-b = \ln(\frac{4}{3})$ है।अतः,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$।

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