मान लीजिए S = {1, 2, 3, ldots, 10} है। मान ली | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है।संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B 
eq \phi; A, B \in M\}$ के रूप में परिभाषित है।$1$. स्वतुल्यता: एक संबं

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केवल सममित

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(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है।संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B 
eq \phi; A, B \in M\}$ के रूप में परिभाषित है।$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $A \in M$ के लिए $(A, A) \in R$ हो। इसके लिए $A \cap A 
eq \phi$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $A 
eq \phi$। चूंकि रिक्त समुच्चय $\phi$,$S$ का एक उपसमुच्चय है और $\phi \cap \phi = \phi$ होता है,इसलिए $A = \phi$ के लिए $A \cap A 
eq \phi$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।$2$. सममितता: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(A, B) \in R \implies (B, A) \in R$ हो। यदि $A \cap B 
eq \phi$ है,तो $B \cap A 
eq \phi$ होगा क्योंकि सर्वनिष्ठ (intersection) क्रमविनिमेय होता है। अतः,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R \implies (A, C) \in R$ हो। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,और $C = \{3\}$ है। यहाँ,$A \cap B = \{2\} 
eq \phi$ और $B \cap C = \{3\} 
eq \phi$ है। हालाँकि,$A \cap C = \phi$ है। चूँकि $A \cap C = \phi$ है,इसलिए $(A, C) \in R$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।इसलिए,यह संबंध केवल सममित है।

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है। मान लीजिए $M$,$S$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। तब संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ है :

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मान लीजिए कि $R = \{ (3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12), (6, 12), (3, 9), (3, 12), (3, 6) \}$ समुच्चय $A = \{ 3, 6, 9, 12 \}$ पर एक संबंध है। यह संबंध है

एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो स्वतुल्य (reflexive) और संक्रामक (transitive) है लेकिन सममित (symmetric) नहीं है।

$3$ अवयवों वाले एक समुच्चय पर कितने स्वतुल्य संबंध (reflexive relations) होते हैं?

मान लीजिए $A$ सभी फलनों $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ का समुच्चय है और $R$,$A$ पर एक संबंध इस प्रकार है कि $R =\{( f , g ): f(0)= g (1) \text{ और } f(1)= g (0)\}$। तो $R$ है:

मान लीजिए कि $P$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक संबंध है,जहाँ $P = \{(a,b) : \sec^2 a - \tan^2 b = 1\}$ है। तो $P$ है

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