मान लीजिए vec{a}=a_1 hat{i}+a_2 hat{j}+a_3 ha | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$। हमें $\vec{c}=2(\vec{a} 	imes \vec{b})-3 \vec{b}$ दिया गया है। $\vec{b}$ और

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$\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$। हमें $\vec{c}=2(\vec{a} 	imes \vec{b})-3 \vec{b}$ दिया गया है। $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $	heta$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\cos 	heta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ का उपयोग करेंगे। सबसे पहले,$\vec{b} \cdot \vec{c}$ की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3 \vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b})) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$। चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3|\vec{b}|^2 = -3(4^2) = -3(16) = -48$। अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करें: $|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 3 \vec{b}|^2 = 4|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{b}$। चूंकि $(\vec{a} 	imes \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2$। $|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$। अतः,$|\vec{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$। इसलिए,$|\vec{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$। अंत में,$\cos 	heta = \frac{-48}{4 	imes 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$। अतः,$	heta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$।

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