मान लीजिए कि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है जो सदिशों $\overrightarrow{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है,और सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ का कोण बनाता है। यदि $\hat{a}$,सदिश $\hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $1, 2, 3$ और $-1, 0, 1$ क्रमशः किरणों $OA$ और $OB$ के दिक अनुपात (direction ratios) हैं, तो समतल $AOB$ के अभिलंब (normal) के दिक कोसाइन (direction cosines) क्या होंगे?

यदि $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है,तो सदिशों $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$ तीन सदिश हैं। मान लीजिए $\vec{r}$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है, और $\vec{r} \cdot \vec{a} = 11$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सदिश $\vec{r}$ के लंबवत है?

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,तीन सदिश हैं। यदि $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}_1$ सदिश $\vec{b}$ की दिशा में सदिश $\vec{a}$ का घटक है और $\vec{a}_2$ सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ के लंबवत घटक है,तो $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2 = \dots$