ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $M=\int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx,$ $N=\int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx;$ $a \neq \frac{1}{2}.$ જો $\alpha M=\beta N,$ $\alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $.....$ છે.

ધારો કે $f(x)$ એ $(a, b)$ પર સંકલનીય છે,જ્યાં $b > a > 0$. જો $I_1 = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\tan \theta + \cot \theta) \sec^2 \theta \, d\theta$ અને $I_2 = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(\tan \theta + \cot \theta) \csc^2 \theta \, d\theta$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2}$ શું છે?

ધારો કે $h(x) = \int\limits_0^x {g(t)dt}$,જ્યાં $g(x)$ એ વિકલનીય અને અયુગ્મ વિધેય છે $\forall x \in R$ અને $g(x)$ એ $3$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
વિધાન $1: h(x) + h(-x) = 0$ $\forall x \in R$
વિધાન $2: h(x) + h(-x) = 2 \int\limits_0^x {g(t)dt}$ $\forall x \in R$
વિધાન $3: h(3n) = 0$ $\forall n \in I$
તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

જો $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$, જ્યાં $a, b \in N$, તો $(2a+b)$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.