मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण frac{d y}{d x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है। माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2-\sqrt{e}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ है। माना $t = x+y$,तब $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,अर्थात $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$. समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,जो सरल होकर $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ हो जाता है। चरों को अलग करने पर: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$. समाकलन करने पर: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$. $\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$. $x=0, y=1$ के लिए $t=1$,अतः $C=0$. $\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$. $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए $x^2 = \frac{1}{2}$,अतः $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$. $2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

Similar Questions

अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = x+1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ प्रारंभिक शर्त $y(0) = 5$ और $x \in (-1, \infty)$ है।

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1-y^2}$ और प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ के लिए अवकल समीकरण का हल है:

यदि $\int x f(x) dx + \frac{f(x)}{2} = 0$ है, तो $f(x)$ किसके बराबर है?

यदि दिए गए अवकल समीकरण $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ का हल $y(x)$ बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ से होकर गुजरता है,तो $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ का मान ........... है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module