ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{d y}{d x}=2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ છે. ધારો કે $t = x+y$,તેથી $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,એટલે કે $\frac{d y}{d x}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2-\sqrt{e}}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ છે. ધારો કે $t = x+y$,તેથી $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,એટલે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ થાય છે. ચલને અલગ કરતા: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$. સંકલન કરતા: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$. $\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$. $x=0, y=1$ માટે $t=1$,તેથી $C=0$. $\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$. $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે $x^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$. $2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\sec^{2} x \tan y \, dx + \sec^{2} y \tan x \, dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y \log y \, dx - x \, dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

આદેશ $\frac{dy}{dx}=z$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ ને એવા વિકલ સમીકરણમાં ફેરવે છે જેનો ઉકેલ $z=$ છે.

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$,જ્યાં $a$ અચળાંક છે,તે વર્તુળોની સંહતિ દર્શાવતું હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા ...... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module