ધારો કે $A$ અને $B$ એ $3$ ક્રમના બે ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $|A|=3$ અને $|B|=2$ થાય. તો $\left|A^{T} A(\operatorname{adj}(2A))^{-1}(\operatorname{adj}(4B))(\operatorname{adj}(AB))^{-1} AA^{T}\right|$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $A, B, C, D$ એ ચોરસ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે જેથી $C^T = DAB$,$D^T = ABC$,અને $S = ABCD$ છે. તો $S^2$ શેના બરાબર થાય?

ધારો કે $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ અને $X=\sum_{k=1}^6 P_k \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$ જ્યાં $P_k^{\top}$ એ શ્રેણિક $P_k$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $X - 30I$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે
$(2)$ $X$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $18$ છે
$(3)$ જો $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ હોય,તો $\alpha=30$
$(4)$ $X$ એ સંમિત શ્રેણિક છે

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $A^2 - 5A + 7I = 0$.
વિધાન-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
વિધાન-$II$: બહુપદી $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ ને $5(A - 4I)$ માં ઘટાડી શકાય છે.

ધારો કે $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકો છે, જેથી $\operatorname{det}(A^T B A) = 27$ અને $\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$ થાય. તો $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = $

જો $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ અને જો $|a| < 1, |b| < 1$ હોય,તો $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ ની કિંમત શોધો.