मान लीजिए z = cos theta + i sin theta है। तो | vedclass

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Question

(D) दिया है $z = \cos 	heta + i \sin 	heta$,डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^n = \cos(n	heta) + i \sin(n	heta)$।अतः,$\operatorname{Im}(z^{2m-1}) = \si

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$\frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$

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(D) दिया है $z = \cos 	heta + i \sin 	heta$,डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^n = \cos(n	heta) + i \sin(n	heta)$।अतः,$\operatorname{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)	heta)$।योग $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)	heta) = \sin 	heta + \sin 3	heta + \sin 5	heta + \dots + \sin 29	heta$ है।यह कोणों की एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 15$ पद,प्रथम पद $a = 	heta$ और सार्व अंतर $d = 2	heta$ है।श्रेणी का योग $\sum_{k=0}^{n-1} \sin(a + kd) = \frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)} \sin(a + (n-1)d/2)$ होता है।$n=15, a=	heta, d=2	heta$ रखने पर:$S = \frac{\sin(15 	imes 2	heta / 2)}{\sin(2	heta / 2)} \sin(	heta + (14 	imes 2	heta / 2)) = \frac{\sin(15	heta)}{\sin 	heta} \sin(	heta + 14	heta) = \frac{\sin^2(15	heta)}{\sin 	heta}$।$	heta = 2^{\circ}$ पर,$15	heta = 30^{\circ}$।$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$।

मान लीजिए $z = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तो $\theta = 2^{\circ}$ पर $\sum_{m=1}^{15} \operatorname{Im}(z^{2m-1})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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