ધારો કે $P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો $Q=[q_{ij}]$ એવો શ્રેણિક હોય કે જેથી $P^{50}-Q=I$ થાય,તો $\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $m$ અને $M$ એ $\left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$ ની અનુક્રમે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો છે. તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $a$ અને $b$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $ab = 5/2$. જો $A = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ અને $AA^T = 20I$ ($I$ એ એકમ શ્રેણિક છે) આપેલ હોય,તો $a$ અને $b$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ કયું છે?

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+x-1=0$ ના ભિન્ન બીજ છે. ગણ $T=\{1, \alpha, \beta\}$ ધ્યાનમાં લો. $3 \times 3$ શ્રેણિક $M=(a_{ij})$ માટે,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ અને $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $i=1,2,3$ અને $j=1,2,3$. $List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ શ્રેણિકોની સંખ્યા કે જેથી તમામ $i, j$ માટે $R_i=C_j=0$ હોય તે	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતા સંમિત શ્રેણિકો $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ ની સંખ્યા કે જેથી તમામ $j$ માટે $C_j=0$ હોય તે	$(2)$ $2$
$(R)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે કે જેથી $i>j$ માટે $a_{ij} \in T$ છે. તો ગણ $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા	$(3)$ $\text{અનંત}$
$(S)$ ધારો કે $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ એ $T$ માં તમામ ઘટકો ધરાવતો શ્રેણિક છે કે જેથી તમામ $i$ માટે $R_i=0$ છે. તો $M$ ના નિશ્ચાયકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે જ્યાં $\omega \neq 1$ અને $P = [p_{ij}]$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે જેમાં $p_{ij} = \omega^{i+j}$ છે. તો $n =$ હોય ત્યારે $P^2 \neq 0$ થાય.