मान लीजिए y^{prime}(x) + y(x) g^{prime}(x) = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g^{\prime}(x)$ और $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ है

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g^{\prime}(x)$ और $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int g^{\prime}(x) dx} = e^{g(x)}$ है।व्यापक हल $y \cdot e^{g(x)} = \int Q(x) e^{g(x)} dx + C = \int g(x) g^{\prime}(x) e^{g(x)} dx + C$ है।मान लीजिए $u = g(x)$,तो $du = g^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u = e^{g(x)}(g(x) - 1)$ बन जाता है।अतः,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$ है।दिया गया है $y(0) = 0$ और $g(0) = 0$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$।इस प्रकार,हल $y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + 1$ है।$y(2)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 2$ और $g(2) = 0$ रखने पर: $y(2) e^0 = e^0(0 - 1) + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$।

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