मान लीजिए alpha, beta, gamma, delta वास्तविक | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए बिंदु $P(1, 0, -1)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं। समतल के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब $Q$ है। रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है। $R =

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$A, B, C$

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(C) मान लीजिए बिंदु $P(1, 0, -1)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं। समतल के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब $Q$ है। रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $R$ समतल पर स्थित है। $R = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1-1}{2} ight) = (2, 1, -1)$. चूंकि $R$ समतल $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$ पर स्थित है,इसलिए: $2\alpha + \beta - \gamma = \delta$  --- $(1)$ समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ है। सदिश $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, -1-(-1)) = (2, 2, 0)$ अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के समानांतर है। अतः,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{0} = k$ (जहाँ $k 
eq 0$)। इससे $\alpha = 2k$,$\beta = 2k$,और $\gamma = 0$ प्राप्त होता है। दिया गया है $\alpha + \gamma = 1$,इसलिए $2k + 0 = 1$,यानी $k = \frac{1}{2}$। अतः,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 0$। इन मानों को $(1)$ में रखने पर: $2(1) + 1(1) - 0 = \delta \implies \delta = 3$। अब,विकल्पों की जाँच करें: $(A)$ $\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$ (सही) $(B)$ $\delta - \gamma = 3 - 0 = 3$ (सही) $(C)$ $\delta + \beta = 3 + 1 = 4$ (सही) $(D)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 0 = 2 
eq \delta$ (गलत) अतः,कथन $A, B, C$ सही हैं।

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