माना S_n = sum_{k=1}^{4n} (-1)^{frac{k(k+1)}{ | vedclass

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Question

(A,D) दिया गया योग $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है। पदों का विस्तार करने पर: $S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 +

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$(A, D)$

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(A,D) दिया गया योग $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है। पदों का विस्तार करने पर: $S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$. चार-चार पदों के समूह बनाने पर: $S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर: $S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$. $S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$. दोनों श्रेणियाँ समांतर श्रेणी हैं जिनमें $n$ पद हैं। प्रथम श्रेणी का योग $= 4n^2$. दूसरी श्रेणी का योग $= 4n^2 + 2n$. $S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$. $n=8$ के लिए,$S_8 = 1056$. $n=9$ के लिए,$S_9 = 1332$. अतः,$S_n$ के मान $1056$ और $1332$ हो सकते हैं।

माना $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है। तो $S_n$ का मान क्या हो सकता है?
$(A) 1056$
$(B) 1088$
$(C) 1120$
$(D) 1332$

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उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n$-वाँ पद $n(n+3)$ है।

यदि $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$ और $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (2021)^2 - (2022)^2 + (2023)^2 = 1012 m^2 n$ है,तो $m^2 - n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2} < 1.01$ है।

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $11$ पदों का योग क्या है?

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माना $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है। तो $S_n$ का मान क्या हो सकता है? $(A) 1056$ $(B) 1088$ $(C) 1120$ $(D) 1332$