मान लीजिए f:[0,1] rightarrow mathbb{R} एक फलन | vedclass

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Question

(D) $1.$ दिया गया है $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prim

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$(B, C)$

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(D) $1.$ दिया गया है $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prime}(x) + e^{-x}f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।इसे $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $g(x) = e^{-x}f(x)$ है। तब $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$ है।चूंकि $f(0)=f(1)=0$,इसलिए $g(0)=0$ और $g(1)=0$ है। चूंकि $g^{\prime \prime}(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ सख्ती से उत्तल (convex) है। $g(0)=g(1)=0$ वाला एक उत्तल फलन $(0,1)$ में ऋणात्मक होना चाहिए। अतः $g(x) $2.$ चूंकि $g(x) = e^{-x}f(x)$ का न्यूनतम मान $x=1/4$ पर है,इसलिए $g^{\prime}(1/4) = 0$ है। $x  1/4$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0$ है।$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$ है।$x \in (0, 1/4)$ के लिए,$g^{\prime}(x) $x \in (1/4, 1)$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$ है।अतः,$(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

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समुच्चय $A = \{x \mid x^2 + 20 \le 9 x\}$ पर फलन $f(x) = 2 x^3 - 15 x^2 + 36 x - 48$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

$20$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करें कि एक भाग और दूसरे भाग के घन का गुणनफल अधिकतम हो। वे दो भाग हैं

$x$ और $y$ दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $2x + 3y = 50$ है। यदि $x = \alpha$ और $y = \beta$ के लिए $x^2 y^3$ अधिकतम है, तो $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{5} =$

$f(x) = x^{2}, x \in R$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के उच्चतम और निम्नतम मान,यदि कोई हों,तो ज्ञात कीजिए।

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