मान लीजिए vec{x}, vec{y} और vec{z} तीन सदिश ह | vedclass

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Question

(A, B, C) दिया गया है कि $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = \sqrt{2}$ और प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।अतः,$\vec{x} \cdot \vec{y}

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$(A, B, C)$

Vedclass · Answer

(A, B, C) दिया गया है कि $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = \sqrt{2}$ और प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।अतः,$\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{z} = \vec{z} \cdot \vec{x} = |\vec{x}||\vec{y}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$.चूंकि $\vec{a}$,$\vec{x}$ और $\vec{y} 	imes \vec{z}$ के लंबवत है,$\vec{a}$,$\vec{x} 	imes (\vec{y} 	imes \vec{z})$ के समानांतर है।सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{x} 	imes (\vec{y} 	imes \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z} = 1\vec{y} - 1\vec{z} = \vec{y} - \vec{z}$.अतः,$\vec{a} = \lambda(\vec{y} - \vec{z})$.तब $\vec{a} \cdot \vec{y} = \lambda(\vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{z} \cdot \vec{y}) = \lambda(2 - 1) = \lambda$. इस प्रकार,$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y} - \vec{z})$,जो $(B)$ है।इसी प्रकार,$\vec{b}$,$\vec{y}$ और $\vec{z} 	imes \vec{x}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{b}$,$\vec{y} 	imes (\vec{z} 	imes \vec{x}) = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{z} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x} = 1\vec{z} - 1\vec{x} = \vec{z} - \vec{x}$ के समानांतर है।अतः,$\vec{b} = \mu(\vec{z} - \vec{x})$.तब $\vec{b} \cdot \vec{z} = \mu(\vec{z} \cdot \vec{z} - \vec{x} \cdot \vec{z}) = \mu(2 - 1) = \mu$. इस प्रकार,$\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z} - \vec{x})$,जो $(A)$ है।अब,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda \mu (\vec{y} - \vec{z}) \cdot (\vec{z} - \vec{x}) = \lambda \mu (\vec{y} \cdot \vec{z} - \vec{y} \cdot \vec{x} - \vec{z} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x}) = \lambda \mu (1 - 1 - 2 + 1) = -\lambda \mu = -(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$,जो $(C)$ है।

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