मान लीजिए y(x) अवकल समीकरण (1+e^x) y^{prime}+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ है। $(1+e^x)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{e^x}{1+e^x} y = \frac{1}{1+e^x}$ प्

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$(A, C)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ है। $(1+e^x)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d y}{d x}+\frac{e^x}{1+e^x} y = \frac{1}{1+e^x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{e^x}{1+e^x} dx} = e^{\ln(1+e^x)} = 1+e^x$ है।हल $y(1+e^x) = \int 1 dx = x+c$ है।$y(0)=2$ दिया गया है,इसलिए $2(1+e^0) = 0+c \Rightarrow c=4$ प्राप्त होता है।अतः,$y(x) = \frac{x+4}{1+e^x}$ है।$(A)$ के लिए,$y(-4) = \frac{-4+4}{1+e^{-4}} = 0$ है। अतः $(A)$ सत्य है।$(B)$ के लिए,$y(-2) = \frac{-2+4}{1+e^{-2}} = \frac{2}{1+e^{-2}} 
eq 0$ है। अतः $(B)$ असत्य है।$(C)$ और $(D)$ के लिए,$y^{\prime}(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।$y^{\prime}(x) = \frac{(1+e^x) - (x+4)e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{1-e^x(x+3)}{(1+e^x)^2}$ है।मान लीजिए $g(x) = 1-e^x(x+3)$ है।$g(0) = 1-e^0(3) = -2$ है।$g(-1) = 1-e^{-1}(2) = 1-\frac{2}{e} > 0$ है।चूंकि $g(x)$ सतत है और $g(-1) > 0$ तथा $g(0) अतः,$y(x)$ का $(-1, 0)$ में एक क्रांतिक बिंदु है। इसलिए $(C)$ सत्य है।सही विकल्प $(A)$ और $(C)$ हैं।

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