मान लीजिए कि A_1, B_1, C_1 xy-समतल में तीन बि | vedclass

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Question

(A,C) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) के लिए बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + 2t^2$ है।चूँकि स्पर्श रेखाएँ $C_1 = (-4, 0)$

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$A, C$

Vedclass · Answer

(A,C) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) के लिए बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + 2t^2$ है।चूँकि स्पर्श रेखाएँ $C_1 = (-4, 0)$ से गुजरती हैं,हमारे पास $0 = -4 + 2t^2$ है,जिसका अर्थ है $t^2 = 2$,इसलिए $t = \pm \sqrt{2}$।अतः,स्पर्श बिंदु $A_1 = (2(\sqrt{2})^2, 4\sqrt{2}) = (4, 4\sqrt{2})$ और $B_1 = (2(-\sqrt{2})^2, 4(-\sqrt{2})) = (4, -4\sqrt{2})$ हैं।$(A)$ $OA_1$ की लंबाई $= \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।$(B)$ $A_1 B_1$ की लंबाई $= |4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})| = 8\sqrt{2}$ है। अतः,$(B)$ $FALSE$ है।$(C)$ $A_1 B_1$ की ढाल अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा $x=4$)। $C_1(-4, 0)$ से $A_1 B_1$ पर खींचा गया शीर्षलंब क्षैतिज रेखा $y=0$ है।$A_1 C_1$ की ढाल $\frac{4\sqrt{2}-0}{4-(-4)} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $B_1(4, -4\sqrt{2})$ से $A_1 C_1$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है।इस शीर्षलंब का समीकरण $y - (-4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(x - 4) \Rightarrow y + 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}x + 4\sqrt{2} \Rightarrow y = -\sqrt{2}x$ है।$y=0$ और $y=-\sqrt{2}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।

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