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Question

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4(x+4)$ है।परवलय पर एक बिंदु $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ मान लीजिए।मूल बिंदु $(0,0)$ से परवलय पर किसी भी बिंदु की दूरी का वर्ग

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$2\sqrt{3}$

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(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4(x+4)$ है।परवलय पर एक बिंदु $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ मान लीजिए।मूल बिंदु $(0,0)$ से परवलय पर किसी भी बिंदु की दूरी का वर्ग $d^2 = x^2 + y^2 = (t^2-4)^2 + (2t)^2$ है।$d^2 = t^4 - 8t^2 + 16 + 4t^2 = t^4 - 4t^2 + 16$.वृत्त $x^2+y^2=k^2$ के परवलय के अंदर स्थित होने के लिए,सभी $t$ के लिए $k^2 \leq d^2$ होना चाहिए।माना $u = t^2$,जहाँ $u \geq 0$ है। तब $f(u) = u^2 - 4u + 16$ है।$f(u)$ का न्यूनतम मान $u = 2$ पर प्राप्त होता है।न्यूनतम मान $f(2) = 2^2 - 4(2) + 16 = 12$ है।अतः,$k^2 \leq 12$,जिसका अर्थ है $k \leq 2\sqrt{3}$।$k$ का अधिकतम मान $2\sqrt{3}$ है।

$k$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए वृत्त $x^2+y^2=k^2$ परवलय $y^2=4x+16$ के पूर्णतः अंदर स्थित हो।

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