रेखा y - x = 1 और वक्र x = y^2 के बीच की न्यू | vedclass

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Question

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है,जिसका ढाल $1$ है।न्यूनतम दूरी के लिए,वक्र $x = y^2$ की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।$x = y^2$ का $y

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$\frac{3\sqrt{2}}{8}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है,जिसका ढाल $1$ है।न्यूनतम दूरी के लिए,वक्र $x = y^2$ की स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।$x = y^2$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 2y$ प्राप्त होता है।चूंकि स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = 1$ है,इसलिए $\frac{1}{2y} = 1$,जिससे $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।$y = \frac{1}{2}$ को $x = y^2$ में रखने पर,हमें $x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,वक्र पर बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ हैं।न्यूनतम दूरी बिंदु $P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।दूरी $= \frac{|\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

रेखा $y - x = 1$ और वक्र $x = y^2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

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