ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ અને $\vec{d}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ થાય. જો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $2|\vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

આપેલ આકૃતિમાં,જો સદિશ $x$ એ સમીકરણ $x - w = v$ નું પાલન કરતું હોય,તો $x = ?$

જો $b$ અને $c$ અસમરેખ સદિશો હોય, $|c| \neq 0$, $a \times(b \times c)+(a \cdot b) b=(4-2 \beta-\sin \alpha) b+\left(\beta^2-1\right) c$ અને $(c \cdot c) a=c$ હોય, તો અદિશો $\alpha$ અને $\beta$ શું થાય?

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ $xyz$-અવકાશમાં ત્રણ સદિશો છે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ થાય. જો $A, B, C$ એ અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ હોય,તો $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના શક્ય સ્થાનની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ ના અનુક્રમે $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશો છે. જો $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ અને જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $8$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $4$ છે
$(D)$ $\overrightarrow{w}$ એ સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે