मान लीजिए E_1: frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1 एक | vedclass

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Question

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_1 = 3$ और अर्ध-लघु अक्ष $b_1 = 2$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^

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$54$

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(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_1 = 3$ और अर्ध-लघु अक्ष $b_1 = 2$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।चूंकि सभी दीर्घवृत्त $E_i$ की उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ समान है,इसलिए $e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,या $b_i = \frac{2}{3}a_i$ है।प्रश्न के अनुसार $E_i$ के लघु अक्ष की लंबाई $(2b_i)$,$E_{i+1}$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $(2a_{i+1})$ के बराबर है,इसलिए $2b_i = 2a_{i+1}$,जिसका अर्थ है $a_{i+1} = b_i$ है।$b_i = \frac{2}{3}a_i$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ प्राप्त होता है। यह अर्ध-दीर्घ अक्षों के लिए सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ है।चूंकि $a_i$ का अनुपात $\frac{2}{3}$ है,इसलिए $a_i^2$ का अनुपात $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ होगा।अतः,$A_i$ प्रथम पद $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ और सार्व अनुपात $R = \frac{4}{9}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।अनंत श्रेणी का योग $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ है।इसलिए,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} 	imes \frac{54\pi}{5} = 54$।

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यदि दीर्घवृत्त $x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y - \lambda = 0$ के नाभिलंब की लंबाई $4$ है,और $l$ इसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई है,तो $\lambda + l$ का मान $......$ है।

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