माना (a, b) वक्र x^2=2y और सरल रेखा y-2x-6=0 | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $x^2=2y$ और रेखा $y=2x+6$ है। रेखा के समीकरण से $y$ का मान वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2=2(2x+6) \Rightarrow x^2=4x+

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(A) दिया गया वक्र $x^2=2y$ और रेखा $y=2x+6$ है। रेखा के समीकरण से $y$ का मान वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2=2(2x+6) \Rightarrow x^2=4x+12$ $x^2-4x-12=0 \Rightarrow (x-6)(x+2)=0$ अतः,$x=6$ या $x=-2$ है। $x=6$ के लिए,$y=2(6)+6=18$ है। $x=-2$ के लिए,$y=2(-2)+6=2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 18)$ और $(-2, 2)$ हैं। चूंकि बिंदु $(a, b)$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $a=-2$ और $b=2$ है। हमें $I=\int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ का मान ज्ञात करना है। गुणधर्म $\int_{-k}^k f(x) dx = \int_0^k (f(x)+f(-x)) dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{-2}^2 \frac{9x^2}{1+5^x} dx$ यहाँ $\frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9(-x)^2}{1+5^{-x}} = \frac{9x^2}{1+5^x} + \frac{9x^2 \cdot 5^x}{5^x+1} = \frac{9x^2(1+5^x)}{1+5^x} = 9x^2$ है। अतः,$I = \int_0^2 9x^2 dx = [3x^3]_0^2 = 3(8) - 3(0) = 24$.

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