मान लीजिए f(x) = int x^3 sqrt{3-x^2} dx है। य | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $3-x^2 = t^2$ है। तब $-2x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x dx = -t dt$।साथ ही,$x^2 = 3-t^2$ है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$

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$-\frac{6\sqrt{2}}{5}$

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(D) मान लीजिए $3-x^2 = t^2$ है। तब $-2x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x dx = -t dt$।साथ ही,$x^2 = 3-t^2$ है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \int (3-t^2) \cdot t \cdot (-t dt) + C$$f(x) = \int (t^4 - 3t^2) dt + C$$f(x) = \frac{t^5}{5} - t^3 + C$$t = \sqrt{3-x^2}$ वापस रखने पर:$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2} + C$दिया गया है कि $5f(\sqrt{2}) = -4$,अतः $f(\sqrt{2})$ की गणना करते हैं:$f(\sqrt{2}) = \frac{(3-2)^{5/2}}{5} - (3-2)^{3/2} + C = \frac{1}{5} - 1 + C = -\frac{4}{5} + C$।चूंकि $5f(\sqrt{2}) = -4$ है,इसलिए $5(-\frac{4}{5} + C) = -4$,जिससे $-4 + 5C = -4$ प्राप्त होता है,अतः $C = 0$।इस प्रकार,$f(x) = \frac{(3-x^2)^{5/2}}{5} - (3-x^2)^{3/2}$।अब,$f(1)$ की गणना करते हैं:$f(1) = \frac{(3-1)^{5/2}}{5} - (3-1)^{3/2} = \frac{2^{5/2}}{5} - 2^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{5} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(\frac{4}{5} - 2) = \sqrt{2}(\frac{4-10}{5}) = -\frac{6\sqrt{2}}{5}$।

मान लीजिए $f(x) = \int x^3 \sqrt{3-x^2} dx$ है। यदि $5f(\sqrt{2}) = -4$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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