मान लीजिए C_1 तीसरे चतुर्थांश में 3 त्रिज्या | vedclass

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Question

(C) वृत्त $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में है,जिसकी त्रिज्या $r_1 = 3$ है और यह दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $A(-3, -3)$ है।$C_1$ का समीक

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$22$

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(C) वृत्त $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में है,जिसकी त्रिज्या $r_1 = 3$ है और यह दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $A(-3, -3)$ है।$C_1$ का समीकरण $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ है।$C_2$ का केंद्र $B(1, 3)$ है। मान लीजिए $C_2$ की त्रिज्या $r_2$ है।केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ है।चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$AB = r_1 + r_2$। अतः,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,जिससे $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ प्राप्त होता है।स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ रेखाखंड $AB$ को $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.अब,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.इसलिए,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.यहाँ,$m = 9$ और $n = 13$ है। चूंकि $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$,इसलिए $m + n = 9 + 13 = 22$।

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यदि $\sin ^{-1}(a)$ बिंदु $(2,2)$ पर वक्रों $x^2+y^2=4x$ और $x^2+y^2=8$ के बीच का न्यून कोण है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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