मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \li

Vedclass · Accepted Answer

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $\delta$ के लिए,फलन $f$ अंतराल $(-\delta, 0)$ पर एक वर्धमान फलन नहीं है

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \lim_{h 	o 0} (-2h - h \sin(1/h)) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f$,$x=0$ पर अवकलनीय है। अतः,$(A)$ गलत है। $x 
eq 0$ के लिए,$f'(x) = -4x - 2x \sin(1/x) + \cos(1/x)$. जैसे $x 	o 0$,$\cos(1/x)$ पद के कारण $f'(x)$ दोलन करता है। किसी भी $\delta > 0$ के लिए,अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ में,$f'(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेता है क्योंकि $\cos(1/x)$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। इसलिए,$f$ किसी भी अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान। यह $(B)$ को गलत और $(C)$ को सही बनाता है। अंत में,$f(0)=2$ और छोटे $h 
eq 0$ के लिए,$f(h) = 2 - h^2(2 + \sin(1/h)) < 2$. अतः,$x=0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है,जिससे $(D)$ गलत हो जाता है।

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4 \tan x}, & x \neq 0 \\ P, & x=0 \end{cases}$ $x=0$ पर अवकलनीय है, तो

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & , |x| \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , |x| < 2 \end{cases}$ पर $\mathbb{R}$ अवकलनीय है,तो $48(a+b)$ का मान . . . . . . है।

फलन $f(x) = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$ है

यदि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(x)=|x|+|\sin x|$ है,तो $x=0$ पर इसका बायां अवकलज (left hand derivative) क्या है?

मान लीजिए $f(x)=|1-2 x|$, तो

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