मान लीजिए f(x) = begin{cases} x+a sqrt{2} sin | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x +

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$a=\frac{\pi}{6}, b=\frac{-\pi}{12}$

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(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} + a$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + b = \frac{\pi}{2} + b$उन्हें बराबर करने पर: $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad \dots(1)$$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \cot x + b = \pi(0) + b = b$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x) = a \cos(\pi) - b \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a - b$उन्हें बराबर करने पर: $b = -a - b \implies a + 2b = 0 \implies a = -2b \quad \dots(2)$$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x+a \sqrt{2} \sin x, & 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \\ 2x \cot x+b, & \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ a \cos 2x-b \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}$। यदि $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ के लिए सतत है,तो:

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