मान लीजिए f(x)=(x-a)(x-b)-left(frac{a+b}{2}ri | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a)(x-b) - \frac{a+b}{2} = x^2 - (a+b)x + ab - \frac{a+b}{2}$।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं

Vedclass · Accepted Answer

$\geq \frac{-(a+b)^2}{4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a)(x-b) - \frac{a+b}{2} = x^2 - (a+b)x + ab - \frac{a+b}{2}$।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं। अवकलज $f'(x) = 2x - (a+b)$ है।$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है।न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2} - a\right)\left(\frac{a+b}{2} - b\right) - \frac{a+b}{2}$ है।$f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} = -\frac{(a-b)^2}{4} - \frac{a+b}{2} = -\frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2a + 2b}{4}$।हम इसे $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2 - 4ab + 2(a+b)}{4} = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।चूंकि $f(x)=0$ के मूल अ-ऋणात्मक हैं,मान लीजिए मूल $x_1, x_2 \geq 0$ हैं। अतः $x_1+x_2 = a+b \geq 0$ और $x_1x_2 = ab - \frac{a+b}{2} \geq 0$।$x_1x_2 \geq 0$ से,हमें $ab \geq \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4ab \geq 2(a+b)$,इसलिए $4ab - 2(a+b) \geq 0$।अतः,न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4} \geq -\frac{(a+b)^2}{4}$ है।

मान लीजिए $f(x)=(x-a)(x-b)-\left(\frac{a+b}{2}\right)$ है। यदि $f(x)=0$ के दोनों मूल अ-ऋणात्मक (non-negative) हैं,तो $f(x)$ का न्यूनतम मान क्या है?

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