मान लीजिए z=x+iy एक सम्मिश्र संख्या है (x, y | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in R$। समुच्चय $A=\{z:|z| \leq 2\}$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग और परिधि को दर्शाता ह

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$\pi-2$

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(D) दिया गया है $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in R$। समुच्चय $A=\{z:|z| \leq 2\}$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग और परिधि को दर्शाता है,अर्थात $x^2+y^2 \leq 4$। समुच्चय $B=\{z:(z+2y)+\bar{z} \geq 4\}$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ रखने पर: $(x+iy+2y)+(x-iy) \geq 4$ $2x+2y \geq 4 \Rightarrow x+y \geq 2$। यह रेखा $x+y=2$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है। प्रतिच्छेदन $A \cap B$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2+y^2=4$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरा क्षेत्र है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2+(2-x)^2=4$ को हल करके प्राप्त होते हैं: $x^2+4-4x+x^2=4$ $\Rightarrow 2x^2-4x=0$ $\Rightarrow 2x(x-2)=0$। अतः,$x=0$ (जिससे $y=2$ मिलता है) और $x=2$ (जिससे $y=0$ मिलता है)। क्षेत्रफल $\int_0^2 (y_{	ext{circle}} - y_{	ext{line}}) dx = \int_0^2 (\sqrt{4-x^2} - (2-x)) dx$ द्वारा दिया जाता है। $= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}ight) - 2x + \frac{x^2}{2} ight]_0^2$ $= (0 + 2\sin^{-1}(1) - 4 + 2) - (0 + 0 - 0 + 0) = 2(\frac{\pi}{2}) - 2 = \pi-2$।

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