मान लीजिए कि y=Y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}+ | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y 	an x=2x+x^2 	an x$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=	an x$ और $Q=2x+

Vedclass · Accepted Answer

$Y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)-Y^{\prime}\left(\frac{-\pi}{4}\right)=\pi-\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y 	an x=2x+x^2 	an x$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=	an x$ और $Q=2x+x^2 	an x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \sec x = \int (2x+x^2 	an x) \sec x dx + C$.$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x 	an x dx + C$.दूसरे समाकलन के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^2 \sec x 	an x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $y \sec x = \int 2x \sec x dx + x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx + C$.$y \sec x = x^2 \sec x + C$,जो सरल होकर $y = x^2 + C \cos x$ हो जाता है।$Y(0)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \implies C=1$.अतः,$Y(x) = x^2 + \cos x$.तब $Y'(x) = 2x - \sin x$.$Y'(\frac{\pi}{4}) - Y'(-\frac{\pi}{4}) = (2(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) - (2(-\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}))$.$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.अतः,विकल्प $D$ सही है।

मान लीजिए कि $y=Y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+y \tan x=2x+x^2 \tan x$,$x \in \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ का हल है,इस प्रकार कि $Y(0)=1$,तो

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