मान लीजिए $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ और $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ क्या है?

यदि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{r} \times \vec{a}=\vec{b}$, $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है, तो ऐसा एक $\vec{r}=$

एक त्रिभुज $ABC$ के लिए, मान लीजिए $\vec{p}=\vec{BC}$, $\vec{q}=\vec{CA}$ और $\vec{r}=\vec{BA}$ है। यदि $|\vec{p}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{q}|=2$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, जहाँ $\theta$, $\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण है, तो $|\vec{p} \times (\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इस प्रकार दिए गए हैं: $\vec{a} = a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$,$\vec{b} = b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$,और $\vec{c} = c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$। तो सिद्ध कीजिए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$।

यदि $\triangle ABC$ के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{OB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{OC} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ हैं,तो $A$ से खींचे गए $\triangle ABC$ के शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overline{OA} = \vec{a}$,$\overline{OB} = 10\vec{a} + 2\vec{b}$,और $\overline{OC} = \vec{b}$,जहाँ $O, A, C$ असंरेख हैं। मान लीजिए $p$ चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल है और $q$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जिसकी आसन्न भुजाएँ $OA$ और $OC$ हैं। तो $p/q = \dots$