मान लीजिए f(x) एक अवकलनीय फलन है जैसे कि f(0) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0)=0$ और $f^{\prime}(0)=20$ है। हमें $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} [2 f(

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$6$

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(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0)=0$ और $f^{\prime}(0)=20$ है। हमें $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} [2 f(x) \operatorname{cosec} 4 x + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x]$ ज्ञात करना है। व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = \lim _{x \rightarrow 0} \left[ \frac{2 f(x)}{\sin 4x} + 4 f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \cos ^2 x \right]$. चूंकि $f(0)=0$,पहला पद $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है। सीमा का उपयोग करते हुए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{1}{4} = f^{\prime}(0) \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5$. अब,सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim _{x \rightarrow 0} A(x) = 2 \left( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin 4x} \right) + 4 \lim _{x \rightarrow 0} f(x)(\cos ^2 x + 1) - 4 \lim _{x \rightarrow 0} \cos ^2 x$. $= 2(5) + 4(0)(1+1) - 4(1)^2$. $= 10 + 0 - 4 = 6$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

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