$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3 x}=$

मान लीजिए $l = \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{[x]^2}{x^2}$ और $m = \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{[x^2]}{x^2}$,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तो:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt \pi - \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} }}{{\sqrt {1 - x} }}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सीमा ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to -1} (1+x+x^{2}+ \dots +x^{10})$

मान लीजिए $\{x\}$,$x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है और $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(1-\{x\}^2\right) \sin ^{-1}(1-\{x\})}{\{x\}-\{x\}^3}, x \neq 0$ है। यदि $L$ और $R$ क्रमशः $x=0$ पर $f(x)$ की वामपक्ष सीमा (left-hand limit) और दक्षिणपक्ष सीमा (right-hand limit) को दर्शाते हैं,तो $\frac{32}{\pi^2}\left(L^2+R^2\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{p}{x}\right)^{q x}=e^9$ जहाँ $p, q \in \mathbb{N}$,तो $p+q=$