मान लीजिए $B$ और $C$ $n \times n$ आव्यूह (matrices) हैं, जहाँ $A=B+C$, $BC=CB$, और $C^2=0$ (जहाँ $0$ शून्य आव्यूह है)। तो, $B^{2020}[B+(2021)C]=$

यदि $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$ और $A$ तथा $B$ क्रमशः $f(\theta )$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,तो $(A, B)$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ के मूल हैं, जहाँ $I_{3}$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$ है, तो $-\pi \leq t < \pi$ के लिए $t$ के संभावित मानों का समुच्चय क्या है?

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो:

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ $II$ में दिए गए अंतरालों/अंतरालों के संघ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समुच्चय $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): |z|=1, z \neq \pm 1\}$ है	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ का प्रांत है	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ यदि $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$,तो समुच्चय $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ है	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ यदि $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

यदि आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ समीकरण $A(A^{3}+3I)=2I$ को संतुष्ट करता है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए: