मान लीजिए A = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & c | vedclass

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Question

(C) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है। सारणिक की गणना करने पर: $\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \ 0 & \cos t-\lam

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$\left\{-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right\}$

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(C) अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I_{3}) = 0$ द्वारा दिया जाता है। सारणिक की गणना करने पर: $\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \ 0 & \cos t-\lambda & \sin t \ 0 & -\sin t & \cos t-\lambda \end{vmatrix} = 0$. पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $(1-\lambda) [(\cos t - \lambda)^2 - (-\sin^2 t)] = 0$. $(1-\lambda) [\cos^2 t - 2\lambda \cos t + \lambda^2 + \sin^2 t] = 0$. चूंकि $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, हमारे पास है: $(1-\lambda) [\lambda^2 - 2\lambda \cos t + 1] = 0$. इसका विस्तार करने पर: $-\lambda^3 + \lambda^2(1 + 2\cos t) - \lambda(2\cos t + 1) + 1 = 0$. त्रिघात समीकरण $a\lambda^3 + b\lambda^2 + c\lambda + d = 0$ के मूलों का योग $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -b/a$ होता है। यहाँ, $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = -\frac{1 + 2\cos t}{-1} = 1 + 2\cos t$. दिया गया है कि $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = \sqrt{2} + 1$, इसलिए: $1 + 2\cos t = 1 + \sqrt{2} \Rightarrow 2\cos t = \sqrt{2} \Rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $-\pi \leq t < \pi$ के लिए, $\cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $t$ के मान $t = \frac{\pi}{4}$ और $t = -\frac{\pi}{4}$ हैं।

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मान लीजिए $R = \left\{ \begin{bmatrix} a & 3 & b \\ c & 2 & d \\ 0 & 5 & 0 \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \right\}$ है। तब $R$ में व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की संख्या है

$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|, x \in R$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है, जहाँ $\operatorname{det} A = -21$ और $A^3$ का ट्रेस $2024$ है, तो $A$ का ट्रेस ज्ञात कीजिए।

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