मान लीजिए $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,और $r = 2a - 3b + 4c$ है। यदि $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ है,तो:

दिया गया है कि $a$ और $b$ दो इकाई असंरेखीय सदिश हैं,यदि $u = a - (a \cdot b)b$ और $v = a \times b$ है,तो $|v| =$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}_n = (\tan \theta_n)\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b}_n = \hat{i} - (\cot \theta_n)\hat{j}$, जहाँ $\theta_n = \frac{2^{n-1}\pi}{2^n+1}$, किसी $n \in N, n > 5$ के लिए। तो $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2}$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ और $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ के क्रमशः $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश हैं। यदि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ और यदि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $8$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ की लंबाई $4$ है
$(D)$ $\overrightarrow{w}$,सदिशों $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ का कोण समद्विभाजक है

यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ है, तो List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

$A$. $a-b$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. यदि $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ है, तो $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. यदि $a, b, c$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं, तो इसका केंद्रक है	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. यदि $d$ एक सदिश है जिसका परिमाण $2 \sqrt{14}$ है और यह सदिश $a$ के समानांतर है, तो $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

समतलीय बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं,इस प्रकार कि $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ और $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ है। तब त्रिभुज $ABC$ का बिंदु $D$ है