समतलीय बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं,इस प्रकार कि $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ और $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ है। तब त्रिभुज $ABC$ का बिंदु $D$ है

मान लीजिए कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ तीन दिए गए सदिश हैं। मान लीजिए कि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में एक सदिश है जिसका $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है। यदि $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ है,तो $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थिति सदिश $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ और $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ हैं। यदि त्रिभुज के लंबकेंद्र $(O)$ और परिकेंद्र $(C)$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ हैं,तो $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda $ के किन मानों के लिए $\vec{a} $ और $\vec{c} $ इकाई संरेख सदिश हैं और $|\vec{b}| = 6$ दिया गया है,यदि $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$ है,तो $\lambda = ......$

निम्नलिखित दो कथनों के बीच:
कथन $-I$ : माना $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है। तब सदिश $\vec{r}$ जो $\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{r}=0$ को संतुष्ट करता है,का परिमाण $\sqrt{10}$ है।
कथन $-II$ : एक त्रिभुज $ABC$ में,$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ है।

यदि $P$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है और $O$ कोई बिंदु है,तो $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = .......$