मान लीजिए कि एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। त्रिभुज का केंद्रक $G$ उसके शीर्षों के स्थिति सदिशों का औसत होता है:$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarr

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$3$

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(A) मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। त्रिभुज का केंद्रक $G$ उसके शीर्षों के स्थिति सदिशों का औसत होता है:$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3\overrightarrow{r}) + (-5\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r}) + (2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r})}{3}$$G = \frac{(4-5+2)\overrightarrow{p} + (1+1-1)\overrightarrow{q} + (-3+2+2)\overrightarrow{r}}{3} = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3}$हम जानते हैं कि लंबकेंद्र $(O)$,केंद्रक $(G)$ और परिकेंद्र $(C)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक लंबकेंद्र और परिकेंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$G = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot C}{3}$,जिसका अर्थ है $3G = O + 2C$.दिया गया है $O = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $C = \alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$,इसलिए:$3 \left( \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3} \right) = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4} + 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$$\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$$\frac{3}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$$\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r} = \frac{3}{8}\overrightarrow{p} + \frac{3}{8}\overrightarrow{q} + \frac{3}{8}\overrightarrow{r}$गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{3}{8}, \beta = \frac{3}{8}, \gamma = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + 2\beta + 5\gamma = \frac{3}{8} + 2(\frac{3}{8}) + 5(\frac{3}{8}) = \frac{3 + 6 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $\|\vec{v}\|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

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मान लीजिए $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $r_1 = a - b + c$,$r_2 = b + c - a$,$r_3 = c + a + b$,और $r = 2a - 3b + 4c$ है। यदि $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$ है,तो:

यदि $ABCDEF$ एक समषट्भुज (regular hexagon) है,तो $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = .....$

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