मान लीजिए $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय पर परिभाषित है। यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाओं $A$ और $B$ को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

यदि समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से $n$ संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं,तो क्या प्रायिकता है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

मान लीजिए $A, B,$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(A) = 1/3, P(B) = 1/2,$ और $P(C) = 1/4$ है। $3$ घटनाओं में से ठीक $2$ घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ और $B$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,$P(A \cup B) = \frac{31}{45}$,और $P(\bar{B}) = \frac{7}{10}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=\frac{1}{4}$ और $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ है,तो $P(B)$ का मान ज्ञात कीजिए।