ધારો કે $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ અને $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળના અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય, તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો બે શાંકવો $S$ અને $S'$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને $e'$ હોય કે જેથી $e^2 + e'^2 = 3$,તો $S$ અને $S'$ બંને શું છે?

અતિવલય $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

જો $2x - y + 1 = 0$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો નીચેનામાંથી કઈ બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $\text{ન હોઈ શકે}$?

ધારો કે $a$ અને $b$ એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a > 1$ અને $b < a$ થાય. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું બિંદુ છે જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે. ધારો કે $\Delta$ એ $P$ આગળના સ્પર્શક,$P$ આગળના અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર કેટલો થાય?