ધારો કે $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$. સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $k$ શોધો જેથી $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} \neq 0$ થાય.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{1 - \cos \{ {x^2} + 2x\} }}{{\ln {{(x - 1)}^{(x - 2)}}}}$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}}{n^{2}}\right)^{n} = \dots$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt {\frac{{x + \sin x}}{{x - \cos x}}} = $

દ્વિઘાત બહુપદી $p(x)$ ના બીજ $1$ અને $\alpha$ છે, જ્યારે દ્વિઘાત બહુપદી $q(x)$ ના બીજ $1$ અને $\beta$ છે. ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $r(x) = p(x) + q(x)$ ના બીજ છે. તો $\lim_{x \to \infty} [\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)}] = $

$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3|x|^3-x^2+2|x|-5}{-5|x|^3+3 x^2-2|x|+7} = $