मान लीजिए f(x) = frac{1}{3} x sin x - (1 - co | vedclass

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Question

(C) हमें $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ दिया गया है।$x = 0$ के निकट $\sin x$ और $\cos x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\sin x

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(C) हमें $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ दिया गया है।$x = 0$ के निकट $\sin x$ और $\cos x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \frac{1}{3} x \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)ight) - \left(1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6))ight)$$f(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{x^4}{18} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$$f(x) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) x^2 + (\frac{1}{24} - \frac{1}{18}) x^4 + O(x^6)$$f(x) = -\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)$अब, सीमा $\lim_{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{-\frac{1}{6} x^2 - \frac{1}{72} x^4 + O(x^6)}{x^k}$ पर विचार करें।यदि $k यदि $k = 2$ है, तो सीमा $-\frac{1}{6} 
eq 0$ है।यदि $k > 2$ है, तो सीमा $0$ है।अतः, सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ जिसके लिए सीमा शून्य नहीं है, वह $k = 2$ है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ है। सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} \neq 0$ हो।

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