मान लीजिए S_{n} = cot^{-1} 2 + cot^{-1} 8 + c | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ है।$\cot^{-1} x = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, $t_{n} = 	an^{-1} \frac{1}{2

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ है।$\cot^{-1} x = 	an^{-1} \frac{1}{x}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, $t_{n} = 	an^{-1} \frac{1}{2n^2}$ प्राप्त होता है।इसे $t_{n} = 	an^{-1} \frac{2}{4n^2} = 	an^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।$	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करते हुए, $t_{n} = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 3) + \dots + (	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(2n-1))$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है, इसलिए $S_{n} = 	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1} 1$.$n ightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर, $\lim_{n ightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

मान लीजिए $S_{n} = \cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 8 + \cot^{-1} 18 + \cot^{-1} 32 + \dots$ $n$ वें पद तक है। तो $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ है

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