माना X_{n} = {z = x + iy : |z|^{2} leq frac{1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, $X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $\frac{1}{\sqrt{n}}$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शात

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एक एकल समुच्चय (singleton set)

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है, $X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $\frac{1}{\sqrt{n}}$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।$n = 1$ के लिए, $X_{1} = \{x^{2} + y^{2} \leq 1\}$.$n = 2$ के लिए, $X_{2} = \{x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}\}$.जैसे-जैसे $n 	o \infty$, त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{n}} 	o 0$ होती है।सभी $X_{n}$ का सर्वनिष्ठ (intersection) उन बिंदुओं का समुच्चय है जो सभी $n \geq 1$ के लिए $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{n}$ को संतुष्ट करते हैं।इसका अर्थ है $x^{2} + y^{2} \leq 0$.चूंकि $x^{2} + y^{2}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए एकमात्र समाधान $x^{2} + y^{2} = 0$ है, जिसका अर्थ है $x = 0$ और $y = 0$.अतः, $\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} = \{0 + 0i\} = \{0\}$.इसलिए, सर्वनिष्ठ एक एकल समुच्चय है।

माना $X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$ सभी पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए। तब, $\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$ है

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