व्यंजक $|z|+|z-1|+|z-1-i|+|z-i|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है और $i=\sqrt{-1}$ है।

मान लीजिए $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$,जहाँ $z \in \mathbb{C}$,$C$ केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण है। यदि $(0,0)$,$C$ और $(\alpha, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $11$ वर्ग इकाई है,तो $\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$z_1, z_2, z_3$ आर्गेंड समतल में त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ को दर्शाते हैं। यदि $|z_1-z_2|=\sqrt{25-12\sqrt{3}}$,$|\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}|=\frac{3}{4}$ और $\angle ACB=30^{\circ}$ है,तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए कि $z_1=5+4i$ को मूलबिंदु के परितः वामावर्त दिशा में समकोण पर घुमाने पर प्राप्त बिंदु $w_1$ है,और $z_2=3+5i$ को मूलबिंदु के परितः दक्षिणावर्त दिशा में समकोण पर घुमाने पर प्राप्त बिंदु $w_2$ है। तो $w_1-w_2$ का मुख्य कोणांक $...........$ के बराबर है।

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ समीकरण $z^{2}+pz+q=0$ के दो काल्पनिक मूल हैं, जहाँ $p$ और $q$ वास्तविक हैं। बिंदु $z_{1}, z_{2}$ और मूल बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं यदि

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z + 2| = |z - 2|$ और $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$ है। तो $|z|^2$ का मान ज्ञात कीजिए: